关系模式基本概念

要建立一套规范化理论，需要研究系统下各组成部分之间的关系，数据库表中主要是属性间的关系。关系模式中的属性之间相互依赖、相互制约的联系称为数据依赖。举一个简单的例子，关系模式 SCD(Student, Course, Department)，数据库表如下：

sno, cno 可以唯一决定一行数据，所以 sno, cno 是候选码，这张表直接使用会遇到一系列问题：

• 数据冗余：存在大量元素被多次存储；
• 插入异常：学生未选课时无法插入数据，因为主码 cno 为空；
• 删除异常：如果一个学生只选了一门课，在退课时会删除该学生的所有信息；
• 更新异常：修改一个学生的年龄信息，需要修改相关的所有行。

一个好的关系模式数据冗余应该尽可能少，同时避免插入、删除、更新异常。接下来我们就对这个表进行处理，尽可能减少冗余，消除异常。如果我们有一套规范化的理论来指导这个过程，那就再好不过了。我们来研究一下属性之间存在哪些关系，哪些是合理的，哪些可能导致问题。我们只研究函数依赖，函数依赖是指关系模式中各属性间相互依赖、相互制约的联系。在关系模式 SCD 中，我们设 U 是属性全集。F 是 U 上的函数依赖集，有：

U = { sno, sn, age, dept, mn, cno, score }
F = { sno->sn, sno->age, sno->dept, (sno, cno)->score, dept->mn }

函数依赖关系可以分为四类：

• 完全函数依赖，如果 X->Y 且 Y 不依赖于 X 的任何一个真子集，称 Y 对 X 完全函数依赖；
• 部分函数依赖，如果 Y 依赖于 X 的某个真子集，称 Y 对 X 部分函数依赖；
• 传递函数依赖，如果 X->Y，Y!->X 且 Y->Z，则称 Z 对 X 传递函数依赖；
• 直接函数依赖，X->Y, Y->X 且 Y->Z，则 Z 对 X 直接函数依赖。

根据定义，可知 (sno, cno)->score 为完全函数依赖；(sno, cno)->age 为部分函数依赖；mn 传递依赖于 sno。完全函数依赖及直接函数依赖很直接，部分函数依赖以及传递函数依赖中会存在一些多余的关系，如果我们把部分函数依赖以及传递函数依赖消灭，应该能解决不少问题。

分解的无损连接性

我们通过将大表分解为多个小表的方式，消除不合理的依赖关系，但前提是这个分解过程不能丢失信息。函数依赖可以保证关系分解的无损连接性，即关系模式 R 分解后不会丢失原有的信息，r 等于其投影在 X 上的自然连接 r(X, Y, Z) = r[X, Y] ⋈ r[X, Z]。

对于关系模式 SCD，有 sno->(sn, age, dept, mn)，则：SCD = SCD[sno, sn, age, dept, mn] ⋈ SCD[sno, cno, score]，所以分解的过程中，我们可以选取候选码作为被投影的属性。

关系规范化

数据库表分解后满足什么程度的要求，有一套规范化的衡量标准，这就是范式。在关系数据库的规范化过程中，为不同程度的规范化要求设立的不同标准称为范式。低一级范式的关系模式，通过投影运算可以转化为若干个高一级的关系模式的集合，这叫规范化。

第一范式 1NF

如果关系模式中的所有属性都不可再分，就满足第一范式。显然，SCD 属于第一范式，完整的函数依赖如下：

(sno, cno) F-> score
sno->sn, (sno, cno) P->sn
sno->age, (sno, cno) P->age
sno->dept, (sno, cno) P->dept
dept->mn, sno T->mn, (sno, cno) P-> mn

其中既存在完全函数依赖，也存在部分函数依赖和传递函数依赖，正是由于关系中存在着复杂的函数依赖，才导致数据操作中出现了种种弊端。克服这些弊端的方法是用投影运算将关系分解，去掉过于复杂的函数依赖关系，向更高一级的范式进行转换。如果我们把非主属性对主属性的部分函数依赖消除，就可达到第二范式。

第二范式 2NF

若关系模式 R 属于第一范式，且每个非主属性都完全函数依赖于 R 的候选码，则称 R 属于第二范式。SCD 中 sno, cno 为主属性，sn, age, dept, mn, score 都是非主属性。分解时遵循的原则是，让一个关系只描述一个实体或者实体间的联系，如果多于一个实体或联系，就进行投影分解，SCD 至少描述了一个学生实体和一个学生与课程的关系，因此可分解为两个关系：SD(sno, sn, age, dept, mn) 及 SC(sno, cno, score)。

非主属性 sn, age, dept, mn 完全函数依赖于 sno，score 完全函数依赖于 (sno, cno)，则 SC, SD 都属于第二范式。但是这种分解方式仍然存在问题：

• 数据冗余：每个系名和系主任的名字存储的次数等于该系的学生人数。
• 插入异常：当一个新系没有招生时，有关该系的信息无法插入。
• 删除异常：某系学生全部毕业而没有招生时，删除全部学生的记录也随之删除了该系的有关信息。
• 更新异常：更换系主任时，仍需改动较多的学生记录。

SD 中存在 mn 存在对 sno 的传递依赖，即 mn 与 sno 存在间接相关性，通过投影分解消除非主属性对主属性的传递函数依赖，就可达到第三范式。

第三范式 3NF

如果关系模式 R 属于第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于 R 的候选码，则称 R 属于第三范式。SD 中存在着两个实体，学生和系，进行投影分解：S(sno, sn, age, dept)，D(dept, mn)，无传递函数依赖。
分解到第三范式，基本已经消除了之前提到的各种异常，数据的冗余性也得到了一定程度的降低。3NF 只限制了非主属性对码的依赖关系，没有限制主属性对码的依赖关系，如果进一步消除主属性之间的依赖关系，可得到更高一级的范式。

BC 范式

若关系模式 R 属于第一范式，且 R 中每个决定因素都包含候选码，成 R 属于 BC 范式。BCNF 完全消除属性间的部分函数依赖及传递函数依赖。可知，全码的关系模式必属于 BCNF。

如果一个关系数据库中所有的关系模式都属于 BCNF，那么在函数依赖的范畴内，已经实现了模式的彻底分解。

通过不断投影分解，提高范式等级，可以消除一系列异常，但是随之而来的问题是查询操作会变得越来越复杂。理论上一般分解到 3NF 即可。